Practica por temas

Considera la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6)$. Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica.

Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado $x$ y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados $x$ e $y$, como la figura. Si se quiere utilizar $3\,\text{m}^2$ de material, calcule los valores de $x$ e $y$ para que la capacidad de la caja sea máxima.

Determine los valores de $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ pase por el punto $(1, 0)$, tenga un máximo relativo en $x = -1$ y un mínimo relativo en $x = 0$.

Dada la función $f(x) = x^2 e^{-x}$ estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y la existencia de máximos, mínimos y asíntotas.

Una caja (prisma rectangular) tiene por dimensiones $A$, $2A$ y $3A$. Si disminuimos cada una de sus dimensiones en un $50\%$ ¿el volumen habrá disminuido en un $50\%$? ¿el área total habrá disminuido en un $50\%$? Razona las respuestas.