Matemáticas II · Asturias 2025

Dado $a \in \mathbb{R}$, se considera la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ -3 & 2 & 2 \\ -5 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

Una matriz $M$ verifica que $\det(M) = x$. (Los apartados siguientes son independientes.) Se pide:

Un depósito tiene una tubería de entrada de agua y un grifo. Se estudia la cantidad de agua del depósito en cada instante $t$ a lo largo de 4 horas, teniendo en cuenta que en ocasiones se descarga por la apertura del grifo. Se observa que la cantidad de agua viene dada por la función: $f(t) = 2 \cos(t + \pi/2) + 10$, donde $t \in [0, 4]$. Se pide:

Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado $x$ y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados $x$ e $y$, como la figura. Si se quiere utilizar $3\,\text{m}^2$ de material, calcule los valores de $x$ e $y$ para que la capacidad de la caja sea máxima.

Dada la función $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. Se pide:

Se sabe que la función $G(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + 5$ es una primitiva de una función $g$, donde $a, b \in \mathbb{R}$ son valores desconocidos, pero constantes. Se pide:

Se consideran los puntos $A(1, 1, 1)$ y $B(-1, 1, 3)$. Se pide que:

Se considera la recta $r \equiv \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv 2x + y + \beta z = 3$. Se pide:

Supongamos que tenemos en un monedero 5 monedas de 1 euro, 3 de 2 euros y 2 de 10 céntimos.

La esperanza de vida de un elefante sigue una distribución normal de media 82 años y desviación típica 30.