Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2025

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda en el pliego en blanco a cuatro de las cinco preguntas que se proponen. De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B. Todas las preguntas se calificarán con un máximo de 2.5 puntos. Agrupaciones de preguntas que sumen más de 10 puntos o que no coincidan con las indicadas conllevarán la anulación de la(s) última(s) pregunta(s) seleccionada(s) y/o respondida(s).

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dado a∈Ra \in \mathbb{R}, se considera la matrizA=(1−1a−322−542)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ -3 & 2 & 2 \\ -5 & 4 & 2 \end{pmatrix}
a
Encuentre todos los valores de aa para los cuales el sistema de ecuaciones homogéneo AX=[0]AX = [0] tiene infinitas soluciones. ¿Existe algún valor de aa para el cual el sistema no tenga solución? Razone sus respuestas.0,75 pts
b
Suponiendo que AA es la matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas. Calcule los valores de aa para los cuales el sistema tiene solución.0,75 pts
c
Resuelva el sistema homogéneo de apartado (a), para el valor de a=0a = 0.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Una matriz MM verifica que det⁡(M)=x\det(M) = x. (Los apartados siguientes son independientes.) Se pide:
a
Supongamos que la matriz MM tiene 2 filas y 2 columnas, y que M2=(x−1)IM^2 = (x - 1)I siendo II la matriz identidad. Calcule todos los valores de x∈Rx \in \mathbb{R}.1 pt
b
Supongamos ahora que la matriz MM tiene 3 filas y 3 columnas. Estudie si existe algún valor de xx para el que pueda serM=(2110−1x−1−10)M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & x \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}0,75 pts
c
Supongamos ahora que el tamaño de MM es 3×33 \times 3, que x≠0x \neq 0 y que M=xM2M = xM^2. Calcule los posibles valores de xx y det⁡(M−1)\det(M^{-1}) para cada uno de ellos.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Un depósito tiene una tubería de entrada de agua y un grifo. Se estudia la cantidad de agua del depósito en cada instante tt a lo largo de 4 horas, teniendo en cuenta que en ocasiones se descarga por la apertura del grifo. Se observa que la cantidad de agua viene dada por la función: f(t)=2cos⁡(t+π/2)+10f(t) = 2 \cos(t + \pi/2) + 10, donde t∈[0,4]t \in [0, 4]. Se pide:
a
Calcular los máximos y mínimos de la función.1 pt
b
Demostrar que el depósito no se vacía nunca.0,75 pts
c
Deducir durante cuánto tiempo el depósito está aumentando el volumen de agua durante esas 4 horas.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado xx y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados xx e yy, como la figura. Si se quiere utilizar 3 m23\,\text{m}^2 de material, calcule los valores de xx e yy para que la capacidad de la caja sea máxima.
Diagrama de una caja abierta con dimensiones x e y
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Dada la función f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}. Se pide:
a
Una primitiva de la función ff que en 0 valga 1.1,25 pts
b
Calcular el área encerrada entre la gráfica de ff, el eje XX y las rectas x=−1x = -1 y x=1x = 1.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Se sabe que la función G(x)=13x3+ax2+bx+5G(x) = \frac{1}{3}x^3 + ax^2 + bx + 5 es una primitiva de una función gg, donde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} son valores desconocidos, pero constantes. Se pide:
a
Determinar la función g(x)g(x) en función de los parámetros aa y bb.1 pt
b
¿Podría dar la forma de todas las primitivas de gg en función de una constante KK?0,5 pts
c
Sabiendo que g(1)=2g(1) = 2 y g(0)=1g(0) = 1, determinar la función gg.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Se consideran los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1) y B(−1,1,3)B(-1, 1, 3). Se pide que:
a
Encuentre la ecuación del plano π\pi que pasa por el punto medio entre AA y BB y es perpendicular a la recta que los contiene.1 pt
b
Calcule las distancias de AA y BB al plano π\pi.1 pt
c
Tome un punto cualquiera del plano π\pi, distinto del calculado en el apartado (a). Calcule su distancia a AA y a BB y compruebe que es la misma.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Se considera la recta r≡{x+y+z=22x−y+z=0r \equiv \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases} y el plano π≡2x+y+βz=3\pi \equiv 2x + y + \beta z = 3. Se pide:
a
Calcular, en caso de que exista, el valor de β∈R\beta \in \mathbb{R} que hace que rr y π\pi sean paralelos.0,75 pts
b
Calcular, en caso de que exista, el valor de β\beta para que el plano y la recta sean perpendiculares.0,75 pts
c
Para β=0\beta = 0, calcular el simétrico del punto (−1,0,1)(-1, 0, 1) respecto del plano π\pi.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Supongamos que tenemos en un monedero 5 monedas de 1 euro, 3 de 2 euros y 2 de 10 céntimos.
a
Si sacamos 3 monedas al azar del monedero ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea de 1 euro?1,25 pts
b
Sacamos dos monedas una tras otra (sin reemplazamiento) ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea de 10 céntimos?1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
La esperanza de vida de un elefante sigue una distribución normal de media 82 años y desviación típica 30.
Datos
  • Algunos valores de la función de distribución N(0,1)N(0, 1) son: F(x)=P(Z≤x)F(x) = P(Z \leq x)
  • F(0)=0,5F(0) = 0{,}5
  • F(0,15)=0,6F(0{,}15) = 0{,}6
  • F(0,6)=0,7257F(0{,}6) = 0{,}7257
  • F(2,06)=0,98F(2{,}06) = 0{,}98
  • F(0,98)=0,8365F(0{,}98) = 0{,}8365
  • Si tus valores no están entre los expuestos, toma el más cercano
a
¿Qué porcentaje de población de elefantes se espera que viva más de 100 años?0,75 pts
b
Si se toma una muestra de 4 elefantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno supere los 100 años de vida?0,75 pts
c
Calcula un valor a∈Ra \in \mathbb{R} que haga que el 98 % de los elefantes tengan una esperanza de vida menor o igual que 82+a82 + a.1 pt
Ver este ejercicio