Practica por temas

Sea $f(x) = x^4 + Ax^2 + Bx + C$. Obtener los valores de $A$, $B$ y $C$ para que en el punto de abscisa $x = 0$ la recta tangente a la gráfica de $f$ sea $y = 2x - 1$ y en el punto de abscisa $x = 1$ la recta tangente a la gráfica de $f$ sea horizontal. El extremo situado en el punto de abscisa $x = 1$, ¿es máximo o mínimo?

Una hoja de papel tiene que contener $18\,\text{cm}^2$ de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener $2\,\text{cm}$ cada uno y los laterales $1\,\text{cm}$. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

Una empresa desea construir un aparcamiento cuya región sea un rectángulo más medio círculo, tal y como se ve en la figura adjunta. El rectángulo tiene de lados $h, r \in \mathbb{R}$, de manera que el radio del semicírculo es $h/2$. La empresa tiene solamente presupuesto para comprar una valla de 80 metros de perímetro para cercar el aparcamiento. La empresa desea construir el aparcamiento de mayor área posible con ese perímetro de 80 metros.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} ax + y - z = 1 \\ (a^2 - 2)y + 2z = -2 \\ -x + z = 0 \end{cases}$$ dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

Dadas las rectas $$r: \frac{x - m}{-1} = \frac{y + 10}{4} = \frac{z + 3}{1}, \qquad s: \begin{cases} x = 1, \\ y = 6 + 4\lambda, \\ z = -1 + 2\lambda. \end{cases}$$