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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2023

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El estudiante deberá resolver Cuatro de los ocho ejercicios propuestos. Si resuelve más, se corregirán solo los cuatro primeros. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntuará 2,5 puntos. Duración de la prueba: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea el sistema de ecuaciones lineales {−2x+y−z=−1−x+ay+z=22x+y+az=3\begin{cases} -2x + y - z = -1 \\ -x + ay + z = 2 \\ 2x + y + az = 3 \end{cases}, con a∈Ra \in \mathbb{R}.
a
Discute cómo es el sistema en función de los valores del parámetro aa.1,75 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema anterior para a=2a = 2, si es posible.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Una empresa desea construir un aparcamiento cuya región sea un rectángulo más medio círculo, tal y como se ve en la figura adjunta. El rectángulo tiene de lados h,r∈Rh, r \in \mathbb{R}, de manera que el radio del semicírculo es h/2h/2. La empresa tiene solamente presupuesto para comprar una valla de 80 metros de perímetro para cercar el aparcamiento. La empresa desea construir el aparcamiento de mayor área posible con ese perímetro de 80 metros.
Esquema de un aparcamiento compuesto por un rectángulo de base r y altura h, con un semicírculo de radio h/2 adosado a uno de sus lados.
a
Escribe el área del aparcamiento en función del valor hh.1 pt
b
¿Cuánto deben valer hh y rr para que el área del aparcamiento sea lo mayor posible?1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Tenemos dos urnas con bolas. La urna A tiene 4 bolas rojas y 8 negras y la urna B tiene 3 bolas rojas y 7 negras. Disponemos de un dado de 6 caras numeradas del 1 al 6. Lanzamos el dado y si sale un número múltiplo de 3 se extrae una bola de la urna A. Si sale otro número se extrae una bola de la urna B. Calcula razonadamente:
a
La probabilidad de obtener una bola roja.0,5 pts
b
Sabiendo que la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A?0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Una empresa de mensajería sabe que la probabilidad de que el destinatario esté ausente (no se pueda hacer la entrega) durante el reparto es del 25 %. Un repartidor de esta empresa ha de entregar 6 paquetes.
np k0.050.150.250.350.450.550.650.750.850.95
600.73510.37710.17800.07540.02770.00830.00180.00020.00000.0000
10.23210.39930.35600.24370.13590.06090.02050.00440.00040.0000
20.03050.17620.29660.32800.27800.18610.09510.03300.00550.0001
30.00210.04150.13180.23550.30320.30320.23550.13180.04150.0021
40.00010.00550.03300.09510.18610.27800.32800.29660.17620.0305
50.00000.00040.00440.02050.06090.13590.24370.35600.39930.2321
60.00000.00000.00020.00180.00830.02770.07540.17800.37710.7351
a
¿Cuál es la probabilidad de que no pueda entregar uno de ellos porque el destinatario esté ausente?0,5 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que pueda entregar al menos uno de los paquetes?0,75 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sean el plano π≡ax+y−z=1\pi \equiv ax + y - z = 1, con a∈Ra \in \mathbb{R}, y los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0) y B(b,1,−1)B(b, 1, -1), con b∈Rb \in \mathbb{R}.
a
Determina el valor de a,ba, b para que el vector AB⃗\vec{AB} sea perpendicular al plano π\pi y el punto AA esté contenido en el plano π\pi.1,5 pts
b
Para a=1a = 1 y b=0b = 0, calcula la ecuación de la recta que pasa por AA y es perpendicular al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Resuelve los siguientes apartados:
a
Encontrar el área encerrada por la recta x=−1x = -1 y las gráficas de las funciones f(x)=x2−2x+3f(x) = x^2 - 2x + 3 y g(x)=12x2+1g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1.1 pt
b
Sea la matriz A=(−21a−100−1a+1a+1)A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & a \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & a + 1 & a + 1 \end{pmatrix} con a∈Ra \in \mathbb{R}. Estudia el rango de AA en función de los valores de aa.1,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Resuelve los siguientes apartados:
a
Calcula el límite siguiente: lim⁡x→3x3−3x2+3x−93x−9\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 9}{3x - 9}1 pt
b
Sean el punto A(1,2,1)A(1, 2, 1) y el plano π≡x−y=1\pi \equiv x - y = 1. Calcula la distancia del punto AA al plano π\pi.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Resuelve los siguientes apartados:
a
Resuelve la siguiente integral: ∫(x+3)e−2xdx\int (x + 3) e^{-2x} dx1 pt
b
Un jugador lanza un dado de 6 caras 3 veces. La puntuación obtenida es el número de unos obtenidos durante las tiradas.1,5 pts
b.1
¿Cuál es la probabilidad de no obtener ningún uno? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de uno? ¿Y la de obtener una puntuación de tres?0,75 pts
b.2
¿Podrías dar la probabilidad de obtener una puntuación de n∈Nn \in \mathbb{N}?0,75 pts
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Ejercicio 9

9
2,5 puntos
Resuelve los siguientes apartados:
a
Sabiendo que ∣135abcxyz∣=6\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} = 6 con a,b,c,x,y,z∈Ra, b, c, x, y, z \in \mathbb{R}. Calcula el valor de ∣1/23/25/2a+2b+6c+104x4y4z∣\begin{vmatrix} 1/2 & 3/2 & 5/2 \\ a + 2 & b + 6 & c + 10 \\ 4x & 4y & 4z \end{vmatrix} e indica en cada paso las propiedades que utilizas.1,25 pts
b
Calcula el ángulo que forman los vectores u⃗=(1,1,1)\vec{u} = (1, 1, 1) y v⃗=(3,2,3)\vec{v} = (3, 2, 3).1,25 pts
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