Practica por temas

Considere el plano $\pi$ y la recta $r$ que aparecen a continuación: $$\pi : mx - 3y + 2z = 1, \quad r: \begin{cases} 3x + y = 1 \\ 2x - y + 2z = 1 \end{cases}$$

En la figura siguiente se muestran la parábola de ecuación $f(x) = 4 - x^2$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ de la parábola de abscisas respectivas $-1$ y $2$. Hallar la ecuación de una recta $s$ tangente a la parábola $f(x)$ y paralela a $r$.

Una empresa de construcción de drones ha hecho un estudio sobre la vida media de sus productos. Se ha detectado que el $45\%$ de sus productos se estropean antes de los $5$ años. De entre estos objetos estropeados, el $40\%$ han sufrido un mal uso por parte de los usuarios, mientras que, de los productos no estropeados, se sabe que el $55\%$ también sufrieron un mal uso por parte de los usuarios.

Considere la función: $$f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 + 2}$$

Se considera la recta $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+1}{3} = \dfrac{z+2}{-1}$ y el plano $\pi: 3x - my + z = 1$. Se pide: a) Determinar los valores del parámetro real $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. Obtener además los valores de $m$ para los que el plano $\pi$ contiene a la recta $r$. (4 puntos) b) Para los valores $m$ del apartado anterior, hallar un plano paralelo a $\pi$ que contenga a la recta $r$. (3 puntos) c) Calcular, en función de $m$, la distancia entre $\pi$ y el punto $P = (1, -1, -2)$. (3 puntos)