Practica por temas

Sean las parábolas $f(x) = x^2 + k^2$ y $g(x) = -x^2 + 9k^2$.

Dada la curva $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$:

Se desea construir una caja sin tapa superior (ver Figura 1). Para ello, se usa una lámina de cartón de $15\,\text{cm}$ de ancho por $24\,\text{cm}$ de largo, doblándola convenientemente después de recortar un cuadrado de iguales dimensiones en cada una de sus esquinas (ver Figura 2). Se determina como requisito que la caja a construir contenga el mayor volumen posible. Indicar cuáles son las dimensiones de la caja y su volumen máximo.

Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su trayectoria $T$ es $y^2 = 2x + 9$, siendo $-4{,}5 \leq x \leq 8$ y $y \geq 0$, estando situado el Sol en el punto $(0,0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.