Matemáticas II · Cataluña 2016

Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro real $k$.

Resuelva el sistema para el caso $k = 0$.

Si $\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, el sistema es compatible determinado y la solución es $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Si $\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, el sistema es compatible indeterminado.

Determine la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$.

Calcule la distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$.

Compruebe que los puntos $A$ y $B$ son simétricos respecto del plano $\pi$.

Si $r$ es la recta de los puntos $P$ que tiene por ecuación $P = B + \lambda \vec{v}$, en que $\lambda$ es un parámetro real y $\vec{v} = (1, 1, 0)$, verifique que los puntos medios de los segmentos $\overline{AP}$ pertenecen al plano $\pi$.

Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Determine en qué intervalos la función $f$ es creciente y en qué intervalos es decreciente.

Calcule los máximos relativos, los mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$.

Explique razonadamente que si $f(x)$ es una función con la derivada primera continua en el intervalo $[a, b]$ y satisface que $f'(a) > 0$ y $f'(b) < 0$, entonces hay, como mínimo, un punto del intervalo $(a, b)$ en que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en este punto es horizontal.

Calcule todas las matrices de la forma $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & -2 \end{pmatrix}$ que satisfacen la igualdad $A^2 + A = 2I$, en que $I$ es la matriz identidad, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Justifique que si $A$ es una matriz cuadrada que cumple la igualdad $A^2 + A = 2I$, entonces $A$ es invertible, y calcule la expresión de $A^{-1}$ en función de las matrices $A$ e $I$.

Justifique que la matriz $A$ es invertible y que $A^{-1} = A - I$.

Calcule el valor de $a$ que hace que la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix}$ cumpla la igualdad $A \cdot (A - I) = I$. Calcule $A^{-1}$ y compruebe que se corresponde con la matriz calculada a partir del resultado del apartado anterior.

Compruebe que el volumen del tetraedro viene dado por la expresión $V(x) = \frac{1}{6}(-x^2 + 3x)$.

Determine el valor de $x$ que hace que el volumen sea máximo y calcule este volumen máximo.

Estudie si las rectas $r$ y $s$ son paralelas o perpendiculares.

Determine la posición relativa de las rectas $r$ y $s$ y calcule la ecuación paramétrica de la recta $t$ que corta perpendicularmente la recta $r$ y la recta $s$.

Calcule las abscisas, en función de $k$, de los puntos de intersección entre las dos parábolas.

Calcule el valor del parámetro $k$ para que el área comprendida entre las parábolas sea de $576$ unidades cuadradas.

Halle la ecuación de la recta tangente a $y = f(x)$ en el punto de la curva de abscisa $x = 0$.

Calcule la expresión de $f(x)$.