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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2016

12 ejercicios

Instrucciones

Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente:{2x+4y+4z=4k−72x−ky=−1−2x=k+1\begin{cases} 2x + 4y + 4z = 4k - 7 \\ 2x - ky = -1 \\ -2x = k + 1 \end{cases}
a
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro real kk.1 pt
b
Resuelva el sistema para el caso k=0k = 0.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales (112−4−1−5314)(xyz)=(b1b2b3)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -4 & -1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}. Explique razonadamente si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas:
a
Si (b1b2b3)=(000)\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, el sistema es compatible determinado y la solución es (xyz)=(000)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.1 pt
b
Si (b1b2b3)=(111)\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, el sistema es compatible indeterminado.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
En R3\mathbb{R}^3, sean la recta rr que tiene por ecuación (x,y,z)=(1+λ,λ,1−λ)(x, y, z) = (1 + \lambda, \lambda, 1 - \lambda) y el plano π\pi de ecuación 2x−y+z=−22x - y + z = -2.
a
Determine la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi.1 pt
b
Calcule la distancia entre la recta rr y el plano π\pi.1 pt
Datos
  • Puede calcular la distancia de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Sean en R3\mathbb{R}^3 el plano π\pi de ecuación x−y+2z=2x - y + 2z = 2 y los puntos A=(3,−1,2)A = (3, -1, 2) y B=(1,1,−2)B = (1, 1, -2).
a
Compruebe que los puntos AA y BB son simétricos respecto del plano π\pi.1 pt
b
Si rr es la recta de los puntos PP que tiene por ecuación P=B+λv⃗P = B + \lambda \vec{v}, en que λ\lambda es un parámetro real y v⃗=(1,1,0)\vec{v} = (1, 1, 0), verifique que los puntos medios de los segmentos AP‾\overline{AP} pertenecen al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Sea la función f(x)=xex−1f(x) = x e^{x-1}.
a
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
b
Determine en qué intervalos la función ff es creciente y en qué intervalos es decreciente.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a
Calcule los máximos relativos, los mínimos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x)=2x3−9x2+12x−4f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4.1 pt
b
Explique razonadamente que si f(x)f(x) es una función con la derivada primera continua en el intervalo [a,b][a, b] y satisface que f′(a)>0f'(a) > 0 y f′(b)<0f'(b) < 0, entonces hay, como mínimo, un punto del intervalo (a,b)(a, b) en que la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en este punto es horizontal.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a
Calcule todas las matrices de la forma A=(10m−2)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & -2 \end{pmatrix} que satisfacen la igualdad A2+A=2IA^2 + A = 2I, en que II es la matriz identidad, I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.1 pt
b
Justifique que si AA es una matriz cuadrada que cumple la igualdad A2+A=2IA^2 + A = 2I, entonces AA es invertible, y calcule la expresión de A−1A^{-1} en función de las matrices AA e II.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Sea AA una matriz cuadrada de orden nn que satisface la igualdad A⋅(A−I)=IA \cdot (A - I) = I, en que II es la matriz identidad.
a
Justifique que la matriz AA es invertible y que A−1=A−IA^{-1} = A - I.1 pt
b
Calcule el valor de aa que hace que la matriz A=(111a)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix} cumpla la igualdad A⋅(A−I)=IA \cdot (A - I) = I. Calcule A−1A^{-1} y compruebe que se corresponde con la matriz calculada a partir del resultado del apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Considere el tetraedro que tiene por vértices los puntos A=(x,0,1)A = (x, 0, 1), B=(0,x,1)B = (0, x, 1), C=(3,0,0)C = (3, 0, 0) y D=(0,x,0)D = (0, x, 0), con 0<x<30 < x < 3.
Datos
  • Puede calcular el volumen del tetraedro de vértices A,B,CA, B, C y DD con la expresión 16∣det⁡(AB⃗,AC⃗,AD⃗)∣\frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})|
a
Compruebe que el volumen del tetraedro viene dado por la expresión V(x)=16(−x2+3x)V(x) = \frac{1}{6}(-x^2 + 3x).1 pt
b
Determine el valor de xx que hace que el volumen sea máximo y calcule este volumen máximo.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Sean las rectas r:(x,y,z)=(2,3,−3)+λ(1,−1,0)r: (x, y, z) = (2, 3, -3) + \lambda(1, -1, 0) y s:x−32=y−5=z+2s: \frac{x - 3}{2} = y - 5 = z + 2.
a
Estudie si las rectas rr y ss son paralelas o perpendiculares.1 pt
b
Determine la posición relativa de las rectas rr y ss y calcule la ecuación paramétrica de la recta tt que corta perpendicularmente la recta rr y la recta ss.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Sean las parábolas f(x)=x2+k2f(x) = x^2 + k^2 y g(x)=−x2+9k2g(x) = -x^2 + 9k^2.
a
Calcule las abscisas, en función de kk, de los puntos de intersección entre las dos parábolas.1 pt
b
Calcule el valor del parámetro kk para que el área comprendida entre las parábolas sea de 576576 unidades cuadradas.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Sabemos que una función f(x)f(x) tiene por derivada f′(x)=(x+1)exf'(x) = (x + 1)e^x y que f(0)=2f(0) = 2.
a
Halle la ecuación de la recta tangente a y=f(x)y = f(x) en el punto de la curva de abscisa x=0x = 0.1 pt
b
Calcule la expresión de f(x)f(x).1 pt
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