Practica por temas

Considera los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$ dados respectivamente por las ecuaciones $$x + y = 1, \quad ay + z = 0 \quad \text{y} \quad x + (1 + a)y + az = a + 1$$

El grosor de las planchas de acero que se producen en una cierta fábrica sigue una distribución normal de media $8\,\text{mm}$ y desviación típica $0{,}5\,\text{mm}$. Calcule la probabilidad de que una plancha elegida al azar tenga un grosor comprendido entre $7{,}6\,\text{mm}$ y $8{,}2\,\text{mm}$.

Sea el rectángulo $R$ definido por los puntos del plano $(-1,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ y $(-1,1)$. Se consideran las gráficas de las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = a$, $0 < a < 1$ contenidas dentro de $R$. Obtener el valor de $a$ que cumple que el área comprendida entre dichas gráficas es igual a un tercio del área de $R$. (10 puntos)

Calcule la siguiente integral indefinida: $$\int \frac{2x^2 + x - 2}{x^3 - 2x^2 - x + 2} dx$$

Calcular las integrales indefinidas $I$ y $J$ explicando los métodos usados para su resolución. $$I = \int x \cos(2x) \, dx, \quad J = \int \frac{dx}{x^2 + 2x - 3}$$