Practica por temas

Discute el sistema según los valores de $m$.

Resuelve el sistema para $m = 0$. ¿Hay alguna solución en la que $x = 0$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad y convexidad de la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$.

Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$ y la bisectriz del primer cuadrante. (Nota: para el dibujo de la gráfica de $f(x)$, es suficiente utilizar el apartado anterior y calcular los puntos de corte con los ejes).

Enuncia los Teoremas de Bolzano y de Rolle.

Razona que la ecuación $2e^x + x^5 = 0$ tiene al menos una solución real.

Razona que, de hecho, dicha solución es única.

Calcule la integral indefinida $\int \frac{\sqrt{x}}{1 + x} dx$.

Determine la primitiva de $\frac{\sqrt{x}}{1 + x}$ que pasa por el punto $(1, 2)$.

Calcule el límite $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{1 + x}$.

Haced un esbozo de la región pedida.

Calculad el área de la región.