Practica por temas

Si $r$ es la recta que pasa por el punto $P = (1, -1, 1)$ y tiene como vector director $(1, 2, -2)$, ¿existe algún valor de $a$ para el cual la recta $r$ está contenida en el plano $2x + 3y + 4z = a$? En caso afirmativo, encuentra el valor de $a$. En caso negativo, razona tu respuesta.

Demuestre que las rectas siguientes se cortan y calcule el punto de corte:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$).

Considera la recta $r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{1}$ y los planos $\pi_1 \equiv x = 0$ y $\pi_2 \equiv y = 0$.

Considera las matrices $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$