Practica por temas

Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $m$: $$\begin{cases} 3x - y + mz = 0 \\ x + y = m \\ mx - 3y + mz = -2m \end{cases}$$

Resolverlo para $m = 0$.

(2.5 puntos) La vela de un barco tiene forma de triángulo. Si la hipotenusa mide 8 m, calcula las dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima.

(2.5 puntos) Sea la función f(x) = -x² + αx + 11, donde α es un parámetro real. Calcula el valor de α para que f(x) tenga un máximo relativo en x = 1/2. Para ese valor de α calcula el área encerrada entre las gráficas f(x) y f'(x).

Compruebe que el volumen del tetraedro viene dado por la expresión $V(x) = \frac{1}{6}(-x^2 + 3x)$.

Determine el valor de $x$ que hace que el volumen sea máximo y calcule este volumen máximo.

Determine las coordenadas del punto $A'$ simétrico del punto $A$ respecto del plano $\pi$.

Calcule la distancia de $A'$ al plano $\pi$.

Hallar los puntos situados en el plano $z = 1$ que formen con los puntos $A$ y $B$ un triángulo equilátero.

Hallar el volumen del tetraedro formado por los 3 puntos anteriores y el origen de coordenadas.