Practica por temas

Sea $A = (a_{ij})$ la matriz de dimensión $3 \times 3$ definida por $a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = 2, \\ (-1)^j(i - 1) & \text{si } i \neq 2. \end{cases}$ Explique si $A$ y $A + I$ son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan. (Nota: $a_{ij}$ es el elemento de $A$ que está en la fila $i$ y en la columna $j$, e $I$ es la matriz identidad.)

Resolver la ecuación matricial $A \cdot X + 2C = 3B$, siendo: $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}; \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$ (detallar todos los cálculos realizados)

Calcular $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ cx & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{cases}$ cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 4]$.

Calcula el siguiente límite $$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{(x + 1)^2}{x^2 + 3x + 1} \right]^{\ln x}.$$