Practica por temas

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $$f(x) = a + b \cos(x) + c \operatorname{sen}(x)$$ Halla $a, b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$ una recta tangente horizontal con $y = 1$ y que la recta $y = x - 1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Sean las funciones $f(x) = \frac{e^{ax} + b}{4}$ y $g(x) = \sqrt{3x + 4}$.

Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} ax + y + z = 2 \\ 2x + ay + a^2z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$$ según el valor del parámetro real $a$.

Da respuesta a los apartados siguientes: a) Mediante integración por partes, demuestra que ∫ ln x dx = x(ln x − 1) + C. Luego, demuestra la misma igualdad mediante derivación. b) Si f(x) = {ln x si x ∈ (0, e]; ax + b si x ∈ (e, ∞)}, di qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable. c) Calcula el área de la región encerrada por el eje X, la recta x = 4 y la gráfica de f(x) = {ln x si x ∈ (0, e]; x/e si x ∈ (e, ∞)}.

Una ventana rectangular tiene un perímetro de $12$ metros. Calcule las medidas de los lados del rectángulo para que el área de la ventana sea máxima.