Practica por temas

Responde a las siguientes cuestiones sobre funciones y derivabilidad.

En un libro con 3 capítulos, el primero consta de 100 páginas y 15 de ellas contienen errores. El segundo capítulo, de 80 páginas, tiene 8 con error, y en el tercero, de 50 páginas, el $80\%$ no tiene ningún error. Calcule la probabilidad de que una página elegida al azar no esté en el capítulo dos y no tenga errores.

Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{a(1 - \cos(x)) + b \sen(x) - 2(e^x - 1)}{x^2} = 7$.

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, $I(t)$, viene dada por la función $$I(t) = \begin{cases} k e^{2t} & \text{si } t < 1 \\ \frac{t^2}{3t^2 + 1} & \text{si } t \geq 1 \end{cases}$$ siendo $k$ una constante real, $t$ el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y $t = 1$ el inicio de la vacunación.

Obtenga $\int_{1}^{2} \frac{4x^2 + 8x + 1}{x^2 + 2x} dx$.