Practica por temas

Sea $f$ una función continua cuya derivada viene dada de la siguiente manera: $$f'(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ e^x, & x \geq 0 \end{cases}$$ Hallar la expresión de las funciones $f$ y las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en el punto $x = 0$.

Calcula el dominio, los puntos de intersección con los ejes, las asíntotas y los extremos relativos de la función $f(x) = \frac{x}{e^x}$.

Considera la función $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = 1 + \int_{0}^{x} t e^t dt.$$ Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Demuestra que existe $\alpha \in (-1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = -\frac{1}{4}$, siendo $$f(x) = \left[ x^2 + \log(x^2 - 2x + 7) \right]^{\sqrt[3]{\frac{3 - x}{4}}}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.