Practica por temas

Sean $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & m & m - 2 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Una fábrica dispone de tres líquidos $L_1, L_2$ y $L_3$, en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido $L_1$ contiene $120$ mg de sodio y $90$ mg de magnesio, cada litro del líquido $L_2$ contiene $100$ mg de sodio y $90$ mg de magnesio y cada litro del líquido $L_3$ contiene $60$ mg de sodio y $180$ mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de $L_1, L_2$ y $L_3$ en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de $100$ mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

Sea $s$ la recta de ecuación $x - 2 = \frac{y - 2}{-1} = z$, y $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, 0, 1)$ y $B = (2, 1, 2)$.

Encuentra los valores de $t \in \mathbb{R}$ para los que el determinante de la matriz $AB$ vale $0$, siendo $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & t & 2 \\ 0 & 1 + t & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 2 + t & -1 & 0 \\ 1 & t & 0 \\ 4 & 7 & t \end{pmatrix}$$