Practica por temas

Considera las rectas $$r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$

Sea el prisma triangular (triángulos iguales y paralelos) de la figura, con $A(1, 0, 0)$, $B'(-1, 2, 2)$, $C(0, 3, 0)$ y $C'(0, 4, 2)$. Y los planos $\pi$, al que pertenecen los puntos $A, B, C$ y $\pi'$, al que pertenecen los puntos $A', B', C'$. Calcula:

Determinar el plano que pasa por el origen de coordenadas, es paralelo a la recta de ecuación $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{1}$$ y también es paralelo a la recta que pasa por los puntos $(0,1,1)$ y $(1,1,0)$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + \alpha z = 2 \\ 2x + \alpha y = \alpha + 4 \\ 3x + y + (\alpha + 4)z = 7 \end{cases}$$

Los puntos $P \equiv (1, -1, 3)$, $Q \equiv (3, 0, 5)$ y $R \equiv (2, 1, 1)$ son tres vértices de un cuadrado. Encuentra el cuarto vértice.