Practica por temas

Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dada por $$f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen}(x) + ax + b & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula $a$ y $b$.

Calcula el valor de $k$ para que $\int_{1}^{3} e^{x-k} (x-2) dx = 2$.

Considera la siguiente función: $f(x) = e^{-2x} \left( x^2 - 3x + \frac{3}{2} \right)$

En un colegio se han ofertado para los niños de infantil tres actividades extraescolares Inglés (ING), Multideporte (MUL) y Robótica (ROB), con dos rangos de edad de 3 a 4 años (MP) y de 5 a 6 años (MG). Se sabe que se han apuntado a alguna actividad un total de 300 niños. De ellos, hay 100 que tienen entre 3 y 4 años, de los cuales 82 hacen Inglés y 10 han elegido Multideporte. Se sabe que al grupo de Robótica se han apuntado 83 niños, y hay 105 niños de entre 5 y 6 años que se han apuntado a Inglés.

Calcular los valores $A$, $B$, $C$ y $D$ para que la función $$f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$$ tenga extremos relativos en $(0, 0)$ y en $(2, 2)$.