Practica por temas

Dada la función $$f(x) = \frac{\cos(x^3 + 2x^2 + 3x)}{\sqrt{x^2 + x} + 2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-2, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

De la función polinómica $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$ sabemos que: — tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = -3$; — la integral definida en el intervalo $[0, 1]$ vale $-\frac{5}{4}$. Calcule el valor de los parámetros $a$ y $b$.

Dada la recta $r: \begin{cases} 2x - y + 3z = 2 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}$

Considera las rectas $r \equiv x = y + a = \frac{z + 1}{2}$ y $s \equiv \begin{cases} x - 2y = 3a \\ x + z = 2 \end{cases}$

Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de $32.000$ litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construcción?