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Sea $f$ la función continua definida por $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & \text{si } x \leq 0 \\ \sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \leq 2 \\ \frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases}$

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependientes del parametro real $a$: $$\begin{cases} ax - 2y + (a - 1)z = 4 \\ -2x + 3y - 6z = 2 \\ -ax + y - 6z = 6 \end{cases}$$

2: Se dice que una matriz cuadrada A de orden 2 es una matriz de Hadamard si está formada solo por 1's y -1's y cumple que A·A^t = 2I, donde A^t denota la matriz traspuesta de A e I denota la matriz identidad de orden 2. a) [1] Determine cuál de las siguientes matrices es de Hadamard: [[1,1],[-1,1]] y [[1,1],[-1,-1]] b) [0,75] Si A es una matriz de Hadamard cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante. c) [0,75] Justifique que toda matriz A de Hadamard de orden 2 es regular (o invertible) y obtenga una expresión para su inversa en términos de A^t.

**Problema 5 (Análisis):** Dada la función $f(x) = e^x + x^3 - 2$, demostrar que $f(x)$ se anula para algún valor de $x$ y que ese valor es único. **(2 puntos)**

Una heladería vende helados de una, dos y tres bolas a uno, dos y tres euros, respectivamente. El viernes ha vendido 157 helados obteniendo 278 euros. También sabemos que el número de helados de una bola vendidos es $k$ veces el número de helados de tres bolas, con $k > 0$.