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**Problema 6 (Análisis):** Dada la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\cos(x)-a}{bx^2} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$, ¿qué valores tienen que tomar los parámetros $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R} - \{0\}$ para que esta función sea continua en todo $\mathbb{R}$? **(2 puntos)**

a) Calcula: $\lim_{x \to \infty} \frac{e^{2x} + 1}{x e^x}$ b) Si $f$ es una función continua en el intervalo $[1,4]$ tal que $\int_1^2 f(x) dx = 2$ y $\int_1^4 f(x) dx = -4$, ¿cuál es el valor de $\int_2^4 5 f(x) dx$? Enuncia las propiedades de la integral definida que utilices.

Sea $A = \begin{pmatrix} x & 3 \\ -2 & y \end{pmatrix}$. Encuentre los valores de las variables $x$ e $y$ para que se cumpla que $A^2 = A$.

Determinad qué relaciones deben existir entre $a, b, c$ y $d$ para que se verifique $AM = MA$, siendo $A$ y $M$ las matrices siguientes: $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

4.- (2 puntos) Halla la matriz X que satisface AXA + B = B(2A + I), donde A = [[1,-1],[0,1]], B = [[1,2],[-1,-1]] e I es la matriz identidad de orden 2.