Practica por temas

Dependiendo de los valores de $a$, estudia la continuidad de la función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{(e^x - 1)^2}{e^{x^2} - 1} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

Calcule el valor de la integral definida $$\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} dx,$$ donde $a = (e - 1)^2$ [El cálculo de la integral indefinida puede hacerse con el cambio de variable $t = \sqrt{x}$ (es decir, $x = t^2$), o también con el cambio de variable $u = \sqrt{x} + 1$.]

Dado el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 3x + y + mz = 1 \\ x - y + 2z = -2 \\ 5x + (m+1)y + 2z = 4 \end{cases}$$ se pide:

Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que: $P(A) = \frac{3}{5}$, $P(B) = \frac{7}{10}$, $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{1}{10}$. Calcule: $P(A \cup B)$, $P(A \cap B)$, $P(\overline{B} / A)$. (Donde, si C y D son sucesos $\overline{C}$ denota el suceso complementario de $C$ y $P(C / D)$ denota la probabilidad del suceso C condicionada al suceso D).

Calcula $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\operatorname{sen} x}}{x^2}$$