Practica por temas

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 1$ y $g(x) = -x + 1$, se pide:

Se sabe que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, dada por $$f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 2b & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula $a$ y $b$.

Demuestra que la derivada de la función $$f(x) = x^{\sen x}$$ se anula en algún punto del intervalo abierto $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

En un acuario, el estudio de la evolución de la población de peces se ha modelado según la función $t \to P(t)$, $$P(t) = \sqrt{t + 1} - \sqrt{t},$$ donde la variable $t$, que es un número real mayor o igual que cero, mide el número de años transcurridos desde el 1 de enero del año 2000 y $P(t)$ indica el número de individuos, en miles, en el instante de tiempo $t$.

Calcule $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x + 3}{2x - 1} \right)^x$