Practica por temas

Considera la función $f$ definida por $$f(x) = \frac{ax + b}{cx + 1} \quad \text{para} \quad cx + 1 \neq 0.$$ Determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la recta $x = -1$ es una asíntota vertical a la gráfica de $f$ y que $y = 2x + 4$ es la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de $y = -x^2 + 1$ y las rectas tangentes a esta parábola en los puntos de corte de la parábola con el eje OX. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad).

Considera la función $f(x) = \frac{3}{x^2 - x}$.

Determina la única función derivable $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumple que $f(0) = 1, f'(0) = 1$ y $f''(x) = e^x(x + 2)$.

Halle los valores de $a$ y $b$ para que la recta de ecuación $y = 6x + a$ sea tangente a la curva $f(x) = \frac{bx - 1}{bx + 1}$ en el punto de abscisa $x = 0$. Escriba las funciones que se obtienen.