Practica por temas

Considera el plano $\pi \equiv x - 2y + z - 2 = 0$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$.

Considera la ecuación $AXA^t = B$ en donde $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, y $A^t$ denota traspuesta de $A$.

En el espacio tridimensional, se considera la recta y plano siguientes: $$r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + z = 10 \end{cases} \quad \pi : x - y + 2z - 5 = 0$$

Se consideran los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (1, -2, -1)$ y $\vec{w} = (2, \alpha, \beta)$, donde $\alpha$ y $\beta$ son números reales.

Dado el plano $\pi : \begin{cases} x = -1 + 3\lambda - 2\mu \\ y = 4 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda - 5\mu \end{cases}$ con $(\lambda \in \mathbb{R}, \mu \in \mathbb{R})$ y dado el punto $P(0, 3, -1)$ exterior a $\pi$, obtener las ecuaciones en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$, explicando el procedimiento utilizado.