Practica por temas

Sea $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$, sea $B$ la matriz que verifica que $AB = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}$.

Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^2$, calcula las dimensiones de un rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de $f$ y la recta $y = 0$.

Dada la función $$f(x) = \ln \left[ 3 + x + \sen \left( \frac{\pi x^3}{x^2 + x + 2} \right) \right]$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 2)$ tal que $f(\alpha) = 1$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de 18 euros/m$^2$ para los laterales y de 24 euros/m$^2$ para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de 50 euros.

Considere la función dada por $$f(x) = \begin{cases} e^{ax} & \text{si } x < 0 \\ a + b \sen x & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales la función $f(x)$ es continua y derivable en $x = 0$.