Practica por temas

Dadas las funciones $y = -x^2 + 4x$ y $y = 2x^2 - 2x$

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$: $$\begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ k+1 & 1 & -k \\ 1 & k+1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ k \\ 2k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Determine el valor del número positivo $a$ que hace que el área de la región encerrada por la recta $y = -2x$ y la parábola $y = ax^2 + 4x$ sea igual a 9 unidades cuadradas.

En un estudio a 1000 estudiantes europeos, 500 saben hablar inglés, 300 saben hablar español, y 100 de ellos hablan los dos idiomas. Se elige un estudiante al azar del estudio:

Consideremos la región delimitada por la función $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$, el eje de abscisas o eje OX y las rectas verticales $x = -1$ y $x = 1$.