Practica por temas

Considere la ecuación $x^3 + \lambda x^2 - 2x = 1$ donde $\lambda$ es una constante mayor que 2. Haciendo uso del teorema de Bolzano y el de Rolle, pruebe que la ecuación admite una única solución no negativa y menor que 1.

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = x^2 e^{2x}$. Encontrar sus extremos.

Sea la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = a + \frac{\ln(x)}{x^2}$.

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} 3x^2 + \sen^2 x + 2, & \text{si } x \leq 0 \\ \sqrt[3]{x} + 2a \cdot \cos x, & \text{si } 0 < x < \pi \\ \sqrt[3]{x + b} - 2, & \text{si } \pi \leq x \end{cases}$$

De entre todos los rectángulos de área $25\,\text{cm}^2$, determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.