Practica por temas

Un muro rectangular de la biblioteca pública del barrio se va a pintar con la ayuda de unos grafiteros. La dimensión del muro es de 3 metros de alto y 12 metros de largo. Colocando la esquina inferior izquierda del muro en el origen de coordenadas, se va a utilizar la curva $f(x) = \cos\left(\frac{\pi x}{9}\right) + 2$ para diferenciar dos regiones del muro que serán pintadas con dos colores distintos. Se sabe que con un bote de spray se pueden pintar 3 metros cuadrados de superficie.

Calcula $\int_{0}^{1} x \operatorname{arctg}(x) \, dx$ (donde $\operatorname{arctg}$ denota la función arcotangente).

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - e^x + ax}{x \sen(x)}$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite.

Calcule el límite $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{\sen^2 x}$$