Practica por temas

Considera las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g : \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = 5 - x^2$ y $g(x) = \frac{4}{x^2}$.

Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado $x$ y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados $x$ e $y$, como la figura. Si se quiere utilizar $3\,\text{m}^2$ de material, calcule los valores de $x$ e $y$ para que la capacidad de la caja sea máxima.

Sea $a$ un valor real que está estrictamente entre $-1$ y $1$ ($-1 < a < 1$). Definimos la función siguiente en función de $a$: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + a x^2 + x - 3$. Demuestre que la función anterior solo se anula para un valor de $x$.