Practica por temas

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para $13{,}5$ metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible.

Sea la función $f(x) = \frac{\sen x}{\cos^2 x}$.

Dada la matriz $A(a)$ $$A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},$$ calcular, razonadamente, el valor de $a$ para que el determinante de $A(a)^2$ valga 4.

Se divide un alambre de longitud $100\,\text{cm}$ en dos partes. Con una de ellas, de longitud $x$, se construye un triángulo equilátero y con la otra, de longitud $100 - x$, se construye un cuadrado. Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definidas por $f(x) = 4 - \frac{x^2}{3}$ y $g(x) = \frac{x^2}{6} - 2$.