Practica por temas

Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene centro $(0,0)$ y radio $5$. Uno de los vértices del triángulo es el punto $A = (-5, 0)$. Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia $B = (x, y)$ y $C = (x, -y)$. Se pide obtener razonadamente:

Utilizando el cambio de variable $1 + x^2 = t^2$, calcule una primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}}$ que cumpla $F(0) = 0$.

Encuentra los valores $a, b, c$ para los que la función $$f(x) = a \ln x + bx + cx^2$$ tiene en el punto $(1, 0)$ un mínimo relativo y cumple $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^2} = 1$.

Se desea construir una caja sin tapadera de base cuadrada. El precio del material es de 18 euros/m$^2$ para los laterales y de 24 euros/m$^2$ para la base. Halla las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir si disponemos de 50 euros.

En una cristalería, a un cristal rectangular de $120$ centímetros de alto y $70$ centímetros de ancho se le ha cortado por error la esquina superior derecha como se ve en el dibujo. Quieren recortar dicho cristal nuevamente de forma rectangular, de modo que la superficie sea la máxima posible haciendo como máximo dos cortes. ¿Cuáles serán las dimensiones del nuevo cristal rectangular recortado?