Practica por temas

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente: $$\begin{cases} x + y - 3z = 2 \\ 2x + ay - 5z = 2a + 3 \\ 2x - 3y + (a - 2)z = 9 \end{cases}$$

Explicar brevemente en qué consiste el método de integración por partes, y aplicarlo para el cálculo de la integral indefinida que sigue: $$\int (2x + 3) \sen(5x + 7) \, dx$$

Determina el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & a \\ a & a - 3 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ En caso de existir, calcula la inversa de $A$ para $a = 1$. Si no existe tal inversa explica porqué.

Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones $$S = \begin{cases} x + y + \alpha z = 1 \\ x + \alpha y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$$ en función del parámetro $\alpha$. Resolver en los casos de indeterminación.