Practica por temas

Calcula todas las matrices $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ tales que $a + d = 1$, tienen determinante $1$ y cumplen $AX = XA$, siendo $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden $10$ centímetros cada uno. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Sea $f$ una función continua cuya derivada viene dada de la siguiente manera: $$f'(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ e^x, & x \geq 0 \end{cases}$$ Hallar la expresión de las funciones $f$ y las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en el punto $x = 0$.

La producción mensual de una fábrica de bombillas viene dada por $P = 2LK^2$ (en millones), donde $L$ es el coste de la mano de obra y $K$ es el coste del equipamiento (en millones de euros). La fábrica pretende producir 8 millones de unidades al mes. ¿Qué valores de $L$ y $K$ minimizarían el coste total $L + K$?

Se quiere fabricar un smartphone con una pantalla LCD de $18\,\text{cm}^2$. Los bordes superior e inferior han de tener $2\,\text{cm}$ cada uno y los bordes laterales $1\,\text{cm}$. Calcular las dimensiones del teléfono para que la superficie del mismo sea mínima.