Practica por temas

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}$ para $x \neq 1, -1$.

Se desea unir un punto $M$ situado en un lado de una calle, de $6\,\text{m}$ de anchura, con el punto $N$ situado en el otro lado de la calle, $18\,\text{m}$ más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde $M$ hasta un punto $P$, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto $P$ hasta el punto $N$. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que $M = (0, 6)$, $P = (x, 0)$ y $N = (18, 0)$. El cable $MP$ tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de $10\,\text{€/m}$. El precio del cable $PN$ es de $5\,\text{€/m}$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de $2$ metros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima?

Encuentra el punto $R$ que pertenece a la recta $$r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 3}{3}$$ y equidista de los puntos $P \equiv (-1, 1, 2)$ y $Q \equiv (1, 3, 6)$.

a) Dada la función $f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x^3}$, calcula los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto $P(1,2)$. (1,25 puntos) b) Estudia los extremos relativos, el crecimiento y decrecimiento y las asíntotas de la función anterior para el caso particular $a = 2$, $b = -2$. (1,25 puntos)