Practica por temas

Considera la función $f$ definida por $f(x) = ax \ln(x) - bx$ para $x > 0$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano). Determina $a$ y $b$ sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en $x = 1$ y que $$\int_{1}^{2} f(x) dx = 8 \ln(2) - 9$$

Tenemos tres urnas, la primera contiene 2 bolas azules; la segunda, 1 bola azul y 1 roja; la tercera, 2 bolas rojas. Realizamos el experimento aleatorio "Elegimos una urna al azar y extraemos una bola". Supón que todas las urnas tienen la misma probabilidad de ser elegidas.

Sea $f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \frac{\ln(x + 1) + a}{3x + 4}$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Considera el punto $P(2, -2, 0)$ y la recta $r$ dada por $$\begin{cases} x + z - 2 = 0 \\ y + z - 1 = 0 \end{cases}$$

Se consideran los puntos $A(0, 5, 3), B(0, 6, 4), C(2, 4, 2)$ y $D(2, 3, 1)$ y se pide: