Practica por temas

El croquis de abajo representa la pared de una buhardilla con el techo inclinado, en la cual se quiere construir un armario rectangular como el de la zona sombreada.

Hallar el ángulo que forman el plano $\pi \equiv 2x - y + z = 0$ y el plano que contiene a las rectas $$r \equiv \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = t \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x + 1}{-2} = \frac{y}{0} = z - 1$$

Considera la función $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = 1 + \int_{0}^{x} t e^t dt.$$ Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{\ln(x)}{2x}$ para $x > 0$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) y sea $F$ la primitiva de $f$ tal que $F(1) = 2$.

Determinar la función $f(x)$ tal que su gráfica pase por el origen de coordenadas y su derivada sea $f'(x) = (2x + 1)e^{-x}$.