Practica por temas

Si $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ es la matriz identidad de orden 3, calcule para qué valores de $k$ la matriz $A + kI$ tiene inversa. Encuentre, si existe, la matriz inversa de $A - 2I$.

Calcule la matriz $X$ que satisface la ecuación $X \cdot A + A^{\intercal} = 2 \cdot X$, en la que $A^{\intercal}$ es la matriz transpuesta de la matriz $A$.

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Halla los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

(2.5 puntos) La vela de un barco tiene forma de triángulo. Si la hipotenusa mide 8 m, calcula las dimensiones para que la superficie de la vela sea máxima.

(2.5 puntos) Sea la función f(x) = -x² + αx + 11, donde α es un parámetro real. Calcula el valor de α para que f(x) tenga un máximo relativo en x = 1/2. Para ese valor de α calcula el área encerrada entre las gráficas f(x) y f'(x).

Calcula la expresión de la matriz inversa de $A$.

Dada la ecuación matricial $$A + 3AX = 5I$$ donde $A$ es una de las matrices del enunciado. Calcula, en función solo de la matriz $A$ (no de su inversa) y de la identidad $I$, la matriz $X$. ¿Qué dimensión tiene la matriz $X$? Justifica la respuesta.

Calcula todas las matrices de la forma $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix}$$ tales que cumplan las condiciones del enunciado.