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Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro $\alpha$: $$\begin{cases} \alpha x + 2y - 2z = 2 \\ 2x + 2y - 2z = \alpha \\ \alpha x + 2y - z = 1 \end{cases}$$ Resuelve el sistema para $\alpha = 1$, si es posible.

Calcula el valor de $a > 0$ sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola $y = x^2 + ax$ y la recta $y + x = 0$ vale $36$ unidades cuadradas.

Calcula $a > 0$ sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función $f(x) = xe^{3x}$, el eje de abscisas y la recta $x = a$ vale $\frac{1}{9}$.

Considera la función $f(x) = \frac{3}{x^2 - x}$.