Practica por temas

Considera la función $f$ definida por $f(x) = ax \ln(x) - bx$ para $x > 0$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano). Determina $a$ y $b$ sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en $x = 1$ y que $$\int_{1}^{2} f(x) dx = 8 \ln(2) - 9$$

Sea $f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot x\right) \cdot \ln(x^2 + x - 5)$.

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $k$: $$\begin{cases} x + 3y + 2z = -1 \\ x + k^2y + 3z = 2k \\ 3x + 7y + 7z = k - 3 \end{cases}$$

Se sabe que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -2$.

En la figura siguiente se representan dos funciones. Una es la derivada de la otra. Decida si la función $f(x)$ es la derivada de la función $g(x)$ o es al revés, estudiando qué pasa en los puntos $x = a$, $x = b$ y $x = c$.