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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2019

12 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm2600\,\text{cm}^2 de superficie, con unos márgenes alrededor del texto de 2 cm2\,\text{cm} en la parte inferior, 3 cm3\,\text{cm} en la parte superior y 2 cm2\,\text{cm} a cada lado. Calcule las dimensiones de la página que permiten la superficie impresa más grande posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de 2 m22\,\text{m}^2. Sabemos que el precio de la madera es de 7,57{,}5 €/m para los lados horizontales y de 12,512{,}5 €/m para los lados verticales. Determine las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible. ¿Cuál es este coste mínimo?
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real kk:{x+3y+2z=−1x+k2y+3z=2k3x+7y+7z=k−3\begin{cases} x + 3y + 2z = -1 \\ x + k^2y + 3z = 2k \\ 3x + 7y + 7z = k - 3 \end{cases}
a
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro kk.1 pt
b
Resuelva el sistema para el caso k=−1k = -1.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Sean la recta r:{x=2y−z=1r: \begin{cases} x = 2 \\ y - z = 1 \end{cases} y el plano π:x−z=3\pi: x - z = 3.
Datos
  • La distancia de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 se puede calcular con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
a
Calcule la ecuación paramétrica de la recta que es perpendicular al plano π\pi y que lo corta en el mismo punto en que lo corta la recta rr.1 pt
b
Encuentre los puntos de rr que están a una distancia de 8\sqrt{8} unidades del plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Un dron se encuentra en el punto P=(2,−3,1)P = (2, -3, 1) y queremos dirigirlo en línea recta hasta el punto más cercano del plano de ecuación π:3x+4z+15=0\pi: 3x + 4z + 15 = 0.
Datos
  • La distancia de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 se puede calcular con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
a
Calcule la ecuación de la recta, en forma paramétrica, que debe seguir el dron. ¿Qué distancia debe recorrer hasta llegar al plano?1 pt
b
Encuentre las coordenadas del punto del plano donde llegará el dron.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real aa:{ax+7y+5z=0x+ay+z=3y+z=−2\begin{cases} ax + 7y + 5z = 0 \\ x + ay + z = 3 \\ y + z = -2 \end{cases}
a
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro aa.1 pt
b
Resuelva el sistema para el caso a=2a = 2.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Considere la función f(x)=2x3−5x+41−xf(x) = \frac{2x^3 - 5x + 4}{1 - x}.
a
Calcule su dominio y estudie su continuidad. ¿Tiene alguna asíntota vertical?1 pt
b
Observe que f(−2)=−23f(-2) = -\frac{2}{3}, f(0)=4f(0) = 4 y f(2)=−10f(2) = -10. Razone si, a partir de esta información, podemos deducir que el intervalo (−2,0)(-2, 0) contiene un cero de la función. ¿Podemos deducirlo para el intervalo (0,2)(0, 2)? Encuentre un intervalo determinado por dos enteros consecutivos que contenga, como mínimo, un cero de esta función.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Considere la función f(x)f(x), que depende de los parámetros reales nn y mm y está definida porf(x)={exsi x≤0x24+nsi 0<x≤23x2+msi x>2f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{x^2}{4} + n & \text{si } 0 < x \leq 2 \\ \frac{3x}{2} + m & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
Calcule los valores de nn y mm para que la función sea continua en todo el conjunto de los números reales.1 pt
b
Para el caso n=−4n = -4 y m=−6m = -6, calcule el área de la región limitada por la gráfica de f(x)f(x), el eje de las abscisas y las rectas x=0x = 0 y x=4x = 4.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Sea la matriz M=(1aa0)M = \begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 0 \end{pmatrix}, en la que aa es un parámetro real.
a
Calcule para qué valores del parámetro aa se satisface la igualdad M2−M−2I=0M^2 - M - 2I = 0, en la que II es la matriz identidad y 00 es la matriz nula, ambas de orden 2.1 pt
b
Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre una expresión general para calcular la matriz inversa de la matriz MM y, a continuación, calcule la inversa de MM para el caso a=2a = \sqrt{2}.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Considere los planos π1:2x+ay+z=5\pi_1: 2x + ay + z = 5, π2:x+ay+z=1\pi_2: x + ay + z = 1 y π3:2x+(a+1)y+(a+1)z=0\pi_3: 2x + (a + 1)y + (a + 1)z = 0, en los que aa es un parámetro real.
a
Estudie para qué valores del parámetro aa los tres planos se cortan en un punto.1 pt
b
Compruebe que para el caso a=1a = 1 la interpretación geométrica del sistema formado por las ecuaciones de los tres planos es la que se muestra en la imagen.1 pt
Representación geométrica de tres planos que se cortan dos a dos en rectas paralelas (r y s).
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Considere las funciones f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=1xg(x) = \frac{1}{x}, y la recta x=ex = e.
a
Haga un esbozo de la región delimitada por sus gráficas y el eje de las abscisas. Calcule las coordenadas del punto de corte de y=f(x)y = f(x) con y=g(x)y = g(x).1 pt
b
Calcule el área de la región descrita en el apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Sabemos que una función f(x)f(x) es continua y derivable en todos los números reales, que tiene como segunda derivada f′′(x)=6xf''(x) = 6x y que la recta tangente en el punto de abscisa x=1x = 1 es horizontal.
a
Determine la abscisa de los puntos de inflexión de la función ff y los intervalos de concavidad y convexidad. Justifique que la función ff tiene un mínimo relativo en x=1x = 1.1 pt
b
Sabiendo, además, que la recta tangente en el punto de abscisa x=1x = 1 es y=5y = 5, calcule la expresión de la función ff.1 pt
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