Practica por temas

Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius. En función del parámetro $a$, discute y resuelve cuando sea posible el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + y + az = 1 \\ x + ay + z = 1 \end{cases}$$

Se tiene el sistema de ecuaciones $\begin{cases} 2x + 5y = a \\ -x - 4y = b \\ 2x + y = c \end{cases}$, donde $a$, $b$ y $c$ son tres números reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Halla el área del recinto encerrado por las gráficas de las parábolas $y = x^2 - 2x + 1$ y $y = -2x^2 + 2x$.

Dado el sistema $\begin{cases} (a + 1)x + 4y = 0 \\ (a - 1)y + z = 3 \\ 4x + 2ay + z = 3 \end{cases}$, se pide:

Haga un dibujo del recinto limitado por la curva $f(x) = \frac{x^2}{x+2}$ entre los valores $x = -1$, $x = 1$ y el eje $OX$. Calcule el área de este recinto.