Practica por temas

Dada la función $$f(x) = e^{\frac{2x}{1 + x^2}}$$ se pide:

Sea $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \frac{2 \ln(x)}{x^2}$ (donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano).

Calcule el área de la región del plano limitada en el primer cuadrante por las gráficas de las funciones $y = x^2$, $y = 4x^2$ y $y = 9$.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \operatorname{arctg}(x + \pi)$, donde $\operatorname{arctg}$ denota la función arcotangente.

Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de $2$ metros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima?