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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2014

12 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Considere la matriz M=(1aa21a+1(a+1)21a−1(a−1)2)M = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & a + 1 & (a + 1)^2 \\ 1 & a - 1 & (a - 1)^2 \end{pmatrix} para a∈Ra \in \mathbb{R}.
a
Calcule el rango de la matriz MM en función de los valores del parámetro aa.1 pt
b
Discuta y resuelva el sistema de ecuaciones lineales M⋅(xyz)=(111)M \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} según los valores del parámetro aa.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Considere la función f(x)=x+3x−2f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}.
a
Calcule las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función ff.1 pt
b
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en aquellos puntos en que la recta tangente sea paralela a la recta y=−5x+4y = -5x + 4.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Considere el punto A=(1,2,3)A = (1, 2, 3).
a
Calcule el punto simétrico del punto AA respecto de la recta de ecuación r:(x,y,z)=(3+λ,1,3−λ)r: (x, y, z) = (3 + \lambda, 1, 3 - \lambda).1 pt
b
Calcule el punto simétrico del punto AA respecto del plano que tiene por ecuación π:x+y+z=3\pi: x + y + z = 3.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a
Discuta el sistema de ecuaciones lineales {(k−1)y+(k2−1)z=0(4k+1)x−y−7z=1x+y+z=0\begin{cases} (k - 1)y + (k^2 - 1)z = 0 \\ (4k + 1)x - y - 7z = 1 \\ x + y + z = 0 \end{cases} en función de los valores de kk.1 pt
b
Resuelva el sistema para k=1k = 1.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Un nadador está en el mar en un punto NN, situado a 33 km de una playa recta, y justo delante de un punto SS, situado en la playa a ras del agua; y quiere ir a un punto AA, situado también a ras del agua y a 66 km del punto SS, de manera que el triángulo NSANSA es rectángulo en el vértice SS. El nadador nada a una velocidad constante de 33 km/h y camina a una velocidad constante de 55 km/h.
a
Si PP es un punto entre el punto SS y el punto AA que está a una distancia xx de SS, demuestre que el tiempo, en horas, que necesita el nadador para nadar del punto NN al punto PP y caminar desde el punto PP hasta el punto AA viene determinado por la expresión t(x)=x2+93+6−x5t(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3} + \frac{6 - x}{5}.1 pt
b
Calcule el valor de xx que determina el tiempo mínimo que hace falta para ir del punto NN al punto AA, pasando por PP. ¿Cuál es el valor de este tiempo mínimo?1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sean los puntos P=(1,1,0)P = (1, 1, 0), Q=(1,0,1)Q = (1, 0, 1) y R=(0,1,1)R = (0, 1, 1) y el plano π:x+y+z=4\pi: x + y + z = 4.
a
Halle la ecuación general (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano que pasa por los puntos PP, QQ y RR.1 pt
b
Si SS es un punto de π\pi, compruebe que el volumen del tetraedro de vértices PP, QQ, RR y SS no depende del punto SS.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Calcule el área de la región del plano limitada en el primer cuadrante por las gráficas de las funciones y=x2y = x^2, y=4x2y = 4x^2 y y=9y = 9.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Dados los planos π1:x−4y+z=2m−1\pi_1: x - 4y + z = 2m - 1 y π2:2x−(2m+2)y+2z=3m+1\pi_2: 2x - (2m + 2)y + 2z = 3m + 1,
a
Determine los valores de mm para que los planos π1\pi_1 y π2\pi_2 se intersequen en una recta y calcule un vector director de la recta resultante que no dependa de mm.1 pt
b
Sea el plano π:3x−2y+3z=8\pi: 3x - 2y + 3z = 8. Estudie la posición relativa del plano π\pi con la recta rr definida por la intersección de los planos π1\pi_1 y π2\pi_2 cuando m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Sean rr y ss las rectas de R3\mathbb{R}^3 de ecuaciones r:x−23=y=z+14r: \frac{x - 2}{3} = y = \frac{z + 1}{4} y s:(x,y,z)=(1+2α,3−α,4+3α)s: (x, y, z) = (1 + 2\alpha, 3 - \alpha, 4 + 3\alpha), con α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
a
Compruebe que los puntos medios de los segmentos que tienen un extremo situado sobre la recta rr y el otro extremo situado sobre la recta ss forman un plano.1 pt
b
Halle la ecuación general (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano del apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a
Si AA y BB son dos matrices cuadradas de orden nn, demuestre que (A+B)2=A2+2AB+B2⇔AB=BA(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \Leftrightarrow AB = BA1 pt
b
Si M1M_1 y M2M_2 son dos matrices de la forma (a−bba)\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, con a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, compruebe que el producto M1⋅M2M_1 \cdot M_2 tiene también la misma forma y que M1⋅M2=M2⋅M1M_1 \cdot M_2 = M_2 \cdot M_1.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a
Demuestre que si AA es una matriz cuadrada que satisface la igualdad A2=IA^2 = I, donde II es la matriz identidad, entonces AA es invertible y A−1A^{-1} satisface (A−1)2=I(A^{-1})^2 = I.1 pt
b
Calcule la expresión general de las matrices de la forma A=(abc2)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 2 \end{pmatrix} con b≠0b \neq 0 que satisfacen A2=IA^2 = I.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a
La función f(x)=(b−x)eaxf(x) = (b - x)e^{ax}, con aa y bb constantes, tiene la representación gráfica adjunta y sabemos que pasa por los puntos A=(0,2)A = (0, 2) y B=(2,0)B = (2, 0), y que en el punto AA la recta tangente a la gráfica es horizontal. Calcule los valores de aa y bb.1 pt
Gráfica de la función f(x) pasando por los puntos A(0,2) y B(2,0) con tangente horizontal en A.
b
Calcule ∫12xln⁡x dx\int_{1}^{2} x \ln x \, dx.1 pt
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