Practica por temas

Sea la función $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln(x)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica $A(1, 0)$ y $B(e, 1)$.

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $$f(x) = a + b \cos(x) + c \operatorname{sen}(x)$$ Halla $a, b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$ una recta tangente horizontal con $y = 1$ y que la recta $y = x - 1$ corta a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} (2 - a) x - a y + 2 z = - 4 \\ (a - 2) x + (a + 1) y = 5 \\ y + (a^2 - a) z = 3 - a \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Considera las rectas $r$ y $s$ dadas por $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 1 \end{cases} \qquad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + 2y = -1 \\ z = -1 \end{cases}$$