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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2023

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger libremente cinco ejercicios completos de los diez propuestos. Se expresará claramente cuáles son los elegidos. Si se resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados. 2.- CALCULADORA: Podrán usarse calculadoras no programables, que no admitan memoria para texto, ni para resolución de ecuaciones, ni para resolución de integrales, ni para representaciones gráficas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
a
Obtener todas las soluciones del sistema {x+y+z=1x+2y−z=3\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases}1 pt
b
Determinar todos los a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} para que x=5,y=−2,z=−2x = 5, y = -2, z = -2 sea solución del sistema{x+y+z=1x+2y−z=3ax+2ay+bz=b\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 3 \\ ax + 2ay + bz = b \end{cases}¿Para cuáles de esos valores la solución del sistema es única?1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dadas las matrices A=(110a11)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(3−1a03−1)B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ a & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} con a∈R−{0}a \in \mathbb{R} - \{0\}.
a
Calcular la matriz CC, siendo c11=2c_{11} = 2, tal que AC=BAC = B.1 pt
b
Si D=BtAD = B^t A siendo BtB^t la traspuesta de BB, determinar los valores de aa para los que DD tiene matriz inversa.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dadas las rectas r1≡{x=1+ty=2tz=−1+t,t∈Rr_1 \equiv \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases}, t \in \mathbb{R}, y r2≡x−13=y2=z2r_2 \equiv \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}.
a
Razonar si existe un plano perpendicular a r2r_2 que contenga a r1r_1.1 pt
b
Calcular la recta con vector director perpendicular a los de las rectas r1r_1 y r2r_2 y que contiene al punto (1,0,0)(1,0,0).1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sea rr la recta que pasa por los puntos (1,0,−1)(1, 0, -1) y (0,1,1)(0, 1, 1).
a
Determinar el plano que contiene a la recta rr y al punto P=(0,0,1)P = (0, 0, 1).1 pt
b
Calcular la distancia de la recta rr al punto P=(0,0,1)P = (0, 0, 1).1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Sea f(x)={12−xsi x<1ln⁡(x)si x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2 - x} & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a
Estudiar su continuidad y derivabilidad en x=1x = 1.1 pt
b
Estudiar sus asíntotas verticales y horizontales.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dada la función f(x)=x2(x+3)f(x) = x^2(x + 3), determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Calcular:
a
lim⁡x→0sen⁡(x2)x3+4x2\lim_{x \to 0} \frac{\sen(x^2)}{x^3 + 4x^2}1 pt
b
∫0π2sen⁡(x)cos⁡3(x) dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sen(x) \cos^3(x) \, dx1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Dadas las funciones f(x)=−x2f(x) = -x^2 y g(x)=x3g(x) = x^3
a
Comprobar que las gráficas de dichas funciones en [−1,0][-1,0] sólo se cortan para x=−1x = -1 y x=0x = 0. Demostrar que en [−1,0][-1,0], g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x).1 pt
b
Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de dichas funciones.1 pt
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Sean A,BA, B y CC sucesos de un experimento aleatorio con probabilidades P(A)=0,3,P(B)=0,4P(A) = 0{,}3, P(B) = 0{,}4 y P(C)=0,5P(C) = 0{,}5 tales que AA y BB son independientes y BB y CC son incompatibles. Calcular las probabilidades P(A∩B),P(A∩C),P(A∩Cˉ),P(A∪B)P(A \cap B), P(A \cap C), P(A \cap \bar{C}), P(A \cup B) y P(Aˉ∪Bˉ)P(\bar{A} \cup \bar{B}) siendo Aˉ,Bˉ\bar{A}, \bar{B} y Cˉ\bar{C} los sucesos complementarios de A,BA, B y CC respectivamente.
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Ejercicio 10

10
2 puntos
De las camionetas que recogen los envases reciclados de una localidad el 45%45\% son de la marca C1C_1, el 30%30\% de la marca C2C_2 y el 25%25\% de la marca C3C_3. La probabilidad de que una camioneta se averíe es: 0,020{,}02 si es de la marca C1C_1, 0,050{,}05 si es de la marca C2C_2 y 0,040{,}04 si es de la marca C3C_3.
a
Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado.0,6 pts
b
Si se selecciona una de esas camionetas al azar ¿qué probabilidad tiene de averiarse?0,7 pts
c
Suponiendo que una de esas camionetas se ha averiado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido una camioneta de la marca C3C_3?0,7 pts
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