Practica por temas

Calcula las siguientes integrales:

Considera las rectas $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - k}{2}$ y $s \equiv \frac{x + 2}{-1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1}$.

En el espacio tridimensional, se considera la recta y plano siguientes: $$r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + z = 10 \end{cases} \quad \pi : x - y + 2z - 5 = 0$$

Dada la función $$f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x^2\right) e^{x^2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-1, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 2$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Sean $r, s$ las rectas en el espacio dadas, respectivamente, por $$r \equiv \begin{cases} 2x + y + z = 4 \\ x - y + z = 1 \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x + z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$ Calcula para qué valores de $a$ las rectas se cortan en un punto. Halla dicho punto. Estudia la posición relativa que tienen las rectas para el resto de valores de $a$.