Practica por temas

a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - \lambda y = 1 \\ 2x + \lambda z = 1 \end{cases}$$ b) Resolverlo para $\lambda = 1$.

Dadas las dos rectas $r$ y $s$ de ecuaciones $$r: \frac{x - 4}{3} = \frac{y - 4}{2} = z - 4 \quad \text{y} \quad s: x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$$ se pide calcular razonadamente:

a) Dada la función $f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x^3}$, calcula los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto $P(1,2)$. (1,25 puntos) b) Estudia los extremos relativos, el crecimiento y decrecimiento y las asíntotas de la función anterior para el caso particular $a = 2$, $b = -2$. (1,25 puntos)

De entre todos los rectángulos con lados paralelos a los ejes de coordenadas, determina las dimensiones de aquel de área máxima que puede inscribirse en la región limitada por las gráficas de las funciones $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definidas por $f(x) = 4 - \frac{x^2}{3}$ y $g(x) = \frac{x^2}{6} - 2$.

Encuentra un vector de módulo $1$ que sea ortogonal a los vectores de coordenadas $(1, 0, 1)$ y $(1, 2, 0)$.