Practica por temas

En cierto experimento la cantidad de agua en estado líquido $C(t)$, medida en litros, está determinada en función del tiempo $t$, medido en horas, por la expresión: $$C(t) = \frac{2}{3} + 10t + \frac{10}{t} + \frac{240}{t^3}, \quad t \in [1, 10]$$ Halla cuál es la cantidad mínima de agua en estado líquido y en qué instante de tiempo se obtiene, en el intervalo comprendido entre $t = 1$ hora y $t = 10$ horas.

Dado $m \in \mathbb{R}$, se considera el sistema lineal $\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ x + 2y + z = -1 \\ 3x + 3y + 2z = m \end{cases}$

Calcular la distancia del punto $A$ de coordenadas $(4, 4, 3)$ al plano que pasa por los puntos de coordenadas $B(1, 1, 0)$, $C(1, 0, 1)$ y $D(0, 1, 1)$.

Comprobar que las rectas $$r: x + 1 = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{3}$$ y $$s: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ no se cortan y no son paralelas. Calcular la distancia entre ellas.

Dados los puntos $A = (1, 1, 1)$, $B = (1, 0, 0)$ y $C = (0, 2, 1)$, sea $r$ la recta que pasa por $A$ y $B$, y sea $\Pi$ el plano que pasa por $C$ y es perpendicular a $r$. Calcule el punto $P_0$ en el que se cortan $r$ y $\Pi$.