Practica por temas

Dados el plano $\pi \equiv x - 2y + 2z + 1 = 0$ y la superficie esférica $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 9$, hallar los planos tangentes a la esfera que son paralelos al plano $\pi$.

Determinad los puntos $A$, $B$ y $C$ de la recta $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 6}{2} = \frac{z - 6}{3}$ que están en los planos coordenados y determinad cuál de estos tres puntos, $A$, $B$, $C$, está situado entre los otros dos.

Con una cuerda de $2$ metros queremos construir un cuadrado de lado $l$ y un círculo de radio $r$ de modo que la suma de sus áreas sea mínima. ¿Cuánto deben medir $l$ y $r$?

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de las rectas siguientes: $$r: \begin{cases} 3x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + z + 4 = 0 \end{cases}; \quad s: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$

Sean $$\vec{u} = (1, a, a), \quad \vec{v} = (0, 0, 1), \quad \vec{w} = (1, 1, a)$$